Síntesis de Vectores Espaciales para Modulación DPWM-min

Por: Orlando Trejo

Este tutorial se enfoca en el estudio de la Modulación por Ancho de Pulso (PWM), aplicado a Inversores tipo fuente de Voltaje (VSI). Se utilizará el método de Vectores Espaciales (SV) y el primer objetivo será sintetizar vectores de Voltaje de Estator aplicados a una máquina eléctrica de inducción jaula de ardilla. El Grupo de Sistemas Electrónicos de Potencia (GSIEP) de la USB ha desarrollado un Algoritmo Generalizado para diversos tipos de modualción, que puede ser consultado en este paper. En este caso se mostrará el cálculo para el caso DPWM_min.

Primero, comenzamos mostrando el diagrama del VSI, donde comenzaremos por enumerar los IGBT desde Q1 hasta Q6. Un estado del inversor se refiere a una combinación específica de interruptores que pueden estar encendidos o apagados. Hay tres ramas con dos interruptores cada una.

VSI-MATLAB

En total se tienen 4^{3} estados posibles. Descontando los estados en donde los dos IGBT de alguna rama están encendidos (y producirían un cortocircuito) quedan 3^{3} estados. Hay que prescindir también de los estados en donde los dos IGBT de alguna rama están apagados y esto nos deja sólo con 2^{3} estados.

La notación hace mención al interruptor de la rama que está encendido. Se denota como si el interruptor superior de la rama correspondiente está encendido; la rama es 0 si el interruptor inferior de la rama correspondiente está encendido. Con esta descripción se construirán los llamados Vectores Espaciales, en forma de conjunto ternario. A manera de ejemplo, el estado (0,1,0) significará que Q2, Q3 y Q6 estarán encendidos y el resto apagados.

Hay que destacar que hay dos formas de representar el vector nulo: mediante (0,0,0) y con (1,1,1). De las definiciones de álgebra lineal, podemos definir un Espacio Vectorial de manera de representar cualquier vector con una combinación de tres vectores base. Se pueden dar dos casos, dependiendo de cómo se sintetize el vector cero.  En la figura de abajo, se representan gráficamente los espacios vectoriales y se numeran las zonas.

HexagonoLa técnica para sintetizar algún vector es identificar la zona en donde se encuentra y escribirlo como combinación de los dos vectores base ‘activos’, dejando el tercer vector como ‘nulo’.

De manera preliminar, de la definición del voltaje en coordenadas espaciales, se tiene: \vec{v_{s}}=v_{x}+jv_{y} . Podemos manipular la duración en la cual cierto vector es aplicado variando su Ciclo de Trabajo (D). Para las tres zonas, se puede escribir:

\vec{v_{s}}=v_{x}+jv_{y}=\vec{v_{a}}D_{a}+\vec{v_{b}}D_{b}+\vec{v_{c}}D_{c}.

El módulo de los vectores bases será \left|\vec{v}_{a}\right|=\left|\vec{v}_{b}\right|=\left|\vec{v}_{c}\right|=\xi V_{cc} donde \xi será el factor para conservar la potencia activa y V_{cc} será el voltaje DC de entrada al inversor.

A modo de ejemplo, se hará la síntesis de vectores en las 3 zonas del caso en donde el vector nulo es (0,0,0), o sea, el ciclo de trabajo del tercer vector (no activo) será cero.

Zona 0Zona 0: Los vectores ‘activos’ son (1,0,0) y (0,1,0). La parte imaginaria de la expresión de \vec{v_{s}} se iguala a la proyección de \vec{v_{s}} en el eje vertical y resulta:

v_{y}=\left|\vec{v}_{b}\right|D_{b}\sin(\frac{2\pi}{3})=\xi V_{cc}D_{b}\sin(\frac{2\pi}{3})=\xi V_{cc}D_{b}\frac{\sqrt{3}}{2}

Se despeja entonces el ciclo de trabajo: D_{b}=\frac{2v_{y}}{\xi V_{CC}\sqrt{3}}

Para la parte real, se busca la proyección de v_{s} en el eje horizontal, sumando algebraicamente la contribución de \Delta v_{x}:

v_{x}=\left|\vec{v}_{a}\right|D_{a}+\left|\vec{v}_{b}\right|D_{b}\cos(\frac{2\pi}{3})=\xi V_{CC}D_{a}-\frac{1}{2}\xi V_{CC}D_{b}

Se despeja D_{a} y se obtiene:

D_{a}=\frac{v_{x}}{\xi V_{CC}}+\frac{v_{y}}{\xi V_{CC}\sqrt{3}}

Se debe recordar que para este caso, el vector nulo se sintetiza con (0,0,0) y D_{c}=0

Estos ciclos de trabajo concuerdan con los valores de la Tabla II del paper citado arriba, con \delta=1 (DPWM_{min}). Esta zona corresponde a z_0=0 con N=0N=1

Ahora a por las otras zonas, donde la mecánica es similar pero reasignando los vectores activos y haciendo rotaciones para aplicar el mismo procedimiento de la zona 0.


Zona 1Zona 1:
Los vectores activos son (0,1,0) (v_b) y (0,0,1) (v_c). Hay que rotar  \vec{v_{s}} un ángulo \frac{-2\pi}{3} y realizar un análisis similar.

Con la rotación, separando parte real e imaginaria:

\vec{v_{s}}e^{\frac{-2\pi}{3}}=(v_{x}+jv_{y})(\cos(\frac{2\pi}{3})-j\sin(\frac{2\pi}{3}))

=(-\frac{v_{x}}{2}+\frac{v_{y}\sqrt{3}}{2})+j(-\frac{v_{y}}{2}-\frac{v_{x}\sqrt{3}}{2})

Esta vez, el vector que logra la contribución en el eje vertical es\vec{v_{c}} y en el eje horizontal son \vec{v_{b}} y \vec{v_{c}}. El vector que permanece inactivo es \vec{v_{a}} .

Por la ecuación del eje imaginario obtenemos:

D_{c}=-\frac{v_{x}}{\xi V_{CC}}-\frac{v_{y}}{\sqrt{3}\xi V_{CC}}

Por el eje real y sustituyendo el resultado anterior se tiene:

D_{b}=-\frac{v_{x}}{\xi V_{CC}}+\frac{v_{y}}{\sqrt{3}\xi V_{CC}}

Estos resultados coinciden con los de la Tabla II del paper del GSIEP, esta zona corresponde a z_0=1 con N=2 (y ¿N=3?) ; recordando que D_{a}=0\delta=1

Finalmente, para la zona restante:

Zona 2

Zona 2: Los vectores activos son (1,0,0) y (0,0,1). Hay que rotar  \vec{v_{s}} un ángulo \frac{-4\pi}{3} y aplicar el mismo análisis. Reescribiendo \vec{v_{s}} con la rotación, resulta:

\vec{v_{s}}e^{\frac{-4\pi}{3}}=(v_{x}+jv_{y})(\cos(\frac{4\pi}{3})-j\sin(\frac{4\pi}{3}))

=(-\frac{v_{x}}{2}-\frac{v_{y}\sqrt{3}}{2})+j(-\frac{v_{y}}{2}+\frac{v_{x}\sqrt{3}}{2})

Por la ecuación del eje imaginario obtenemos:

D_{a}=\frac{v_{x}}{\xi V_{CC}}-\frac{v_{y}}{\sqrt{3}\xi V_{CC}}

Por el eje real y sustituyendo el resultado anterior se tiene:

D_{c}=-2\frac{v_{y}}{\sqrt{3}\xi V_{CC}}

Los ciclos de Trabajo, de igual forma, coinciden con los del paper del GSIEP, para z_0=2 con N=4 y N=5.

Finalmente, colocando los resultados en una tabla, similar a la tabla II del paper, para el caso DPWM_{min}, en donde \delta=1; y definiendo

f_{x}=\frac{v_{x}}{\xi V_{CC}}f_{y}=\frac{v_{y}}{\sqrt{3}\xi V_{CC}}

Se obtiene la tabla del esquema de modulación DPWM_{min}:

Tabla DPWM_min